Derivadas 1.2

¿  Antes de aplicar una regla de derivación, ¿qué debes hacer, independientemente de cuál sea la función?

Comprender que la regla de la cadena está cumpliendose en el órden con la función y tambien entender que la derivada "existe", ya que "f" debe estar expresada en todos los puntos variables de la ecuación.

¿Se puede aplicar la misma regla a todas las funciones? ¿Por qué?

Si, ya que esta regla hace entender que una variable depende de otra en un problema de derivadas siempre y cuando la misma exista.

¿Se puede derivar una misma función utilizando reglas diferentes?. ¿Por qué?

      Existen otras reglas como la regla de las potencias, estas pueden sustituir a la regla   de la cadena solo siempre y cuando se encuentre en el caso tal de que existan una función donde la misma cumple todas las propiedades para realizarla con la regla de las potencias. 

Derivadas

Nombre	Enunciado (La regla de derivación expresada en palabras)	Función (Es una generalización)	Función derivada	Ejemplo
				Función	Derivada	Planificación y argumentación
Derivada de una constante	La derivada de una constante es cero.	y = k	y’ = 0	y=ln(2)	y’ =0	Analizo la función, observo que es un número real, no depende de ninguna variable, por lo tanto su derivada es cero.
Derivada de una potencia (exponente un número real)	La derivada de una potencia es el valor del exponente multiplicando a la variable elevada al exponente menos la unidad	y = xn	y’ = n xn-1	Y= x^2	Y’=2x1	Se debe modificar y bajar el exponente de tal manera que éste multiplique a la variable  respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad  (n).
Derivada de una constante por una función	La derivada de una constante por una función es la misma constante por la derivada de la función.	y=k f(x)	Y’= k f’(x)	Y= 6x^3	Y’=5.3x^2 Y’=15x^3	Estudio las características de la función, si es el producto de una constante por una función, derivo la función y la multiplico por la misma constante.
Derivada de una suma de  funciones	La derivada de una suma  (o diferencia ) de funciones es la suma (o la diferencia) de las derivadas	Y= f(x)+/-g(x)	Y’= f’(x)+/-g’(x)	y = 3+2x5	y’=0+10x4 y’= 10x4	Estudio el ejercicio, confirmo que sea una suma o una diferencia de funciones y derivo cada función y dejo sumando o restando,después de simplifica lo mas que se pueda (si se agrupa).
Derivada de un producto de  funciones	La derivada de una producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar	Y=f(x)g(x)	Y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)	Y’=(x^2+5)(x^3)	Y’=(x^2+5)’(x^3)+(x^2+5)(x^3)’ Y’=(2x)(x^3)+(x^2+5)(3x) Y’=2x^4+3x^3+15x	Se observa cual es la primera función y cual es la segunda. Se coloca la derivada de la primera por la segunda original, sumando a la primera original por la derivada de la segunda. Se resuelve la derivación y se simplifica
Derivada de un cociente de  funciones	La derivada de un cociente de funciones es un fracción que tiene por numerador  la derivada  del numerador por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, todo dividido entre el denominador original al cuadrado	Y= f(x)       g(x)	Y’=f’(x)g(x)-f(x)g’(x)                g(x)^2			Se identifica la función que esta en el numerador y la que está en el denominador. Escribo la derivada del numerador por el denominador y luego se  resta el numerador por la derivada del denominador, se divide todo entre el denominador elevado al cuadrado. No debe desarrollarse el denominador para o afectar la derivada.
Derivada de logaritmo neperiano	La derivada del logaritmo neperiano de x es igual a uno entre x. La derivada del logaritmo neperiano de una función es igual a la derivada de la función dividida entre dicha función.	Y= ln(x) Y=ln(u)	Y’=1      X Y’=u’     u			Se  estudian los logaritmos dados, luego se ejercen todos los casos anteriores según concuerden y finalmente se suman o restan si es posible.
Derivada de exponencial	La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente. La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.	Y=e^x Y= a^x Y=a^u	Y’=e^x Y’=a^x.lna Y’=u’.a^u.lna			Se estudiaque tipo de función (Se puede realizar de varias maneras). Si es e^x la derivada es la forma la expresión. Si es a^x se coloca la misma expresión multiplicando al logaritmo neperiano (Lne) de la base. Si se expresa del tipo a^u,  se escribe la derivada del exponente por la expresión original por el logaritmo neperiano de la base.

Función trigonométrica	Derivada
y=cos (x) y=sen(x) y=tg(x) y=ctg(x) y=sec(x) y=csc(x)	Y’=-sen(x) Y’=cos(x) Y’=sec^2(x) Y’=-csc^2(x) Y’=sec(x).tag(x) Y’=-csc(x).cotg(x)

s

  

La Hipérbola

Definición

  Una Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, tomada en valor absoluto es constante.

 

Hipérbola con centro, focos, vértices y un punto P 

Ecuación de la Hipérbola 

A diferencia de la parábola, la hipérbola no utiliza un punto P en su ecuación canónica y tampoco eleva una sola variable al cuadrado, por lo tanto no son iguales ni forman la mismas aberturas en el plano.

En la Elipse también hay diferencias, ya que la ecuación general de la elipse utiliza sus dos variables al cuadrado como la hipérbola , pero siempre el valor de "a" y de "b" son positivos, y "a" siempre es el eje mayor.

Concluyendo la ecuación canónia de la hipérbola es de la siguiente manera:

  ===> Cuando la pendiente es Horizontal

===> Cuando es Vertical

Nota: h=Xo   k=Yo


Ecuación General de la Hipérbola

La hiperbola en su forma general es:
 

Ax²-Cy²+Dx+Ey+F=0       donde signo de A = signo de B 

De Ecuación General a Canónica:

De Ecuación Canónica a General :

 Ambas imágenes poseen el mismo ejercício



Elementos Básicos para graficar a partír de la Ecuación Canónica

 Basado en la siguiente ecuación canónica de la Hipérbola podemos mencionar los elementos básicos para graficar.







centro (h;k)-con signos distintos a la ec. Canónica

Vértices:
 Llamence a Vértices a A, A' y B, B' y en este caso de Hipérbola(Horizontal) se forman según la fórmula:
  
* de A y A' (h ± a; k)
*   de B y B' (k ± c, h)---> c²= a² + b² 

Eje real


d(A,A')=2c


Eje Imaginario


d(B,B')=2b




Estudio Completo de la Hipérbola de Ecuación  

X²-3Y²-8X-42Y-101=0


(x²-8X   ) -3(Y²+14Y  )=101





 2hX=-8X   2kY=14
 h=-4      k=7
 h²=16             k²=49

(X²-8X+16)-3(Y²+14Y+49)=101+16-147


(X-4)²-3(Y+7)²=-30

-(X-4)²+(Y+7)²=1
-------    -------
   30        10

Centro C(4,-7)

Orientación VERTICAL

a²=10 => a= 3,2
 b²=30=> b=5,5

Vértices Eje Real     A(4; -7+ a)                     Vértices Eje Imaginario    B (4 -b; -7)
                               A'(4, -7- a)                                                            B'(4+ b; -7)

Bibliografía:

Libro Jorge Gid Hoffmann 5
Imagenes Libro Jorge Gid Hoffmann 5
Imagenes Google
Ejercícios Libro Jorge Gid Hoffmann