Definición
Una Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, tomada en valor absoluto es constante. 
Hipérbola con centro, focos, vértices y un punto P
Ecuación de la Hipérbola
A diferencia de la parábola, la hipérbola no utiliza un punto P en su ecuación canónica y tampoco eleva una sola variable al cuadrado, por lo tanto no son iguales ni forman la mismas aberturas en el plano.
En la Elipse también hay diferencias, ya que la ecuación general de la elipse utiliza sus dos variables al cuadrado como la hipérbola , pero siempre el valor de "a" y de "b" son positivos, y "a" siempre es el eje mayor.
Concluyendo la ecuación canónia de la hipérbola es de la siguiente manera:
===> Cuando la pendiente es Horizontal
===> Cuando es VerticalNota: h=Xo k=Yo
Ecuación General de la Hipérbola
La hiperbola en su forma general es:
Ax²-Cy²+Dx+Ey+F=0 donde signo de A = signo de B
De Ecuación General a Canónica:
De Ecuación Canónica a General :
Ambas imágenes poseen el mismo ejercício
Elementos Básicos para graficar a partír de la Ecuación Canónica
Basado en la siguiente ecuación canónica de la Hipérbola podemos mencionar los elementos básicos para graficar.
centro (h;k)-con signos distintos a la ec. Canónica
Vértices:
Llamence a Vértices a A, A' y B, B' y en este caso de Hipérbola(Horizontal) se forman según la fórmula:
* de A y A' (h ± a; k)
* de B y B' (k ± c, h)---> c²= a² + b²
Eje real
d(A,A')=2c
Eje Imaginario
d(B,B')=2b
Estudio Completo de la Hipérbola de Ecuación
X²-3Y²-8X-42Y-101=0
(x²-8X ) -3(Y²+14Y )=101
2hX=-8X 2kY=14
h=-4 k=7
h²=16 k²=49
(X²-8X+16)-3(Y²+14Y+49)=101+16-147
(X-4)²-3(Y+7)²=-30
-(X-4)²+(Y+7)²=1
------- -------
30 10
Centro C(4,-7)
Orientación VERTICAL
a²=10 => a= 3,2
b²=30=> b=5,5
Vértices Eje Real A(4; -7+ a) Vértices Eje Imaginario B (4 -b; -7)
A'(4, -7- a) B'(4+ b; -7)
Bibliografía:
Libro Jorge Gid Hoffmann 5
Imagenes Libro Jorge Gid Hoffmann 5
Imagenes Google
Ejercícios Libro Jorge Gid Hoffmann
Elementos Básicos para graficar a partír de la Ecuación Canónica
Basado en la siguiente ecuación canónica de la Hipérbola podemos mencionar los elementos básicos para graficar.
centro (h;k)-con signos distintos a la ec. Canónica
Vértices:
Llamence a Vértices a A, A' y B, B' y en este caso de Hipérbola(Horizontal) se forman según la fórmula:
* de A y A' (h ± a; k)
* de B y B' (k ± c, h)---> c²= a² + b²
d(A,A')=2c
Eje Imaginario
d(B,B')=2b
Estudio Completo de la Hipérbola de Ecuación
X²-3Y²-8X-42Y-101=0
(x²-8X ) -3(Y²+14Y )=101
2hX=-8X 2kY=14
h=-4 k=7
h²=16 k²=49
(X²-8X+16)-3(Y²+14Y+49)=101+16-147
(X-4)²-3(Y+7)²=-30
-(X-4)²+(Y+7)²=1
------- -------
30 10
Centro C(4,-7)
Orientación VERTICAL
a²=10 => a= 3,2
b²=30=> b=5,5
Vértices Eje Real A(4; -7+ a) Vértices Eje Imaginario B (4 -b; -7)
A'(4, -7- a) B'(4+ b; -7)
Bibliografía:
Libro Jorge Gid Hoffmann 5
Imagenes Libro Jorge Gid Hoffmann 5
Imagenes Google
Ejercícios Libro Jorge Gid Hoffmann
Muy buena investigación pero hay un error en la ecuación general porque dices "donde signo de A = signo de B" y eso no tiene sentido. En todo caso es que A debe tener signo diferente de C. Por esta razón tienes un punto menos en el portafolio.
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